Simpsons Regel: Die Formel und wie sie funktioniert

Die Simpson-Regel ist eine Methode zur numerischen Integration. Mit anderen Worten, es ist die numerische Approximation bestimmter Integrale.

Simpsons Regel lautet wie folgt:

Drin,

  • f(x)heißt der Integrand
  • a = untere Integrationsgrenze
  • b = obere Integrationsgrenze

Simpsons 1/3 Regel

Wie im obigen Diagramm gezeigt, wird der Integrand f(x)durch ein Polynom zweiter Ordnung angenähert; der quadratische Interpolant ist P(x).

Die Annäherung folgt:

Ersetzen (b-a)/2als h, bekommen wir,

Wie Sie sehen können, enthält 1/3der obige Ausdruck einen Faktor von . Deshalb heißt es Simpsons 1/3 Regel .

Wenn eine Funktion stark schwingt oder an bestimmten Punkten keine Ableitungen aufweist, führt die obige Regel möglicherweise nicht zu genauen Ergebnissen.

Ein üblicher Weg, dies zu handhaben, ist die Verwendung des zusammengesetzten Simpson- Regelansatzes. Teilen Sie dazu [a,b]in kleine Teilintervalle auf und wenden Sie dann die Simpson-Regel auf jedes Teilintervall an. Summieren Sie dann die Ergebnisse jeder Berechnung, um eine Annäherung über das gesamte Integral zu erhalten.

Wenn das Intervall [a,b]in nTeilintervalle aufgeteilt ist und neine gerade Zahl ist, wird die zusammengesetzte Simpson-Regel mit der folgenden Formel berechnet:

wobei x j = a + jh für j = 0,1,…, n-1, n mit h = (ba) / n ; insbesondere ist x 0 = a und x n = b .

Beispiel in C ++:

Um den Wert des unten angegebenen Integrals mit n = 8 zu approximieren:

#include #include using namespace std; float f(float x) { return x*sin(x); //Define the function f(x) } float simpson(float a, float b, int n) { float h, x[n+1], sum = 0; int j; h = (b-a)/n; x[0] = a; for(j=1; j<=n; j++) { x[j] = a + h*j; } for(j=1; j<=n/2; j++) { sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]); } return sum*h/3; } int main() { float a,b,n; a = 1; //Enter lower limit a b = 4; //Enter upper limit b n = 8; //Enter step-length n if (n%2 == 0) cout<

Simpson's 3/8 Rule

Simpson's 3/8 rule is similar to Simpson's 1/3 rule, the only difference being that, for the 3/8 rule, the interpolant is a cubic polynomial. Though the 3/8 rule uses one more function value, it is about twice as accurate as the 1/3 rule.

Simpson’s 3/8 rule states :

Original text


Replacing (b-a)/3 as h, we get,

Simpson’s 3/8 rule for n intervals (n should be a multiple of 3):

where xj = a+jh for j = 0,1,…,n-1,n with h=(b-a)/n; in particular, x0 = a and xn = b.