So lösen Sie ein lineares Gleichungssystem

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die eine Linie grafisch darstellt. Ein System linearer Gleichungen liegt vor, wenn zwei oder mehr lineare Gleichungen zusammen gruppiert sind.

Um die Darstellung zu vereinfachen, betrachten wir Systeme mit zwei Gleichungen. Wie der Name schon sagt, gibt es zwei unbekannte Variablen. Oft werden sie mit den Buchstaben x und y bezeichnet . Wenn Gleichungen einen Prozess beschreiben, können die Buchstaben nach den Rollen ausgewählt werden, die sie spielen. Zum Beispiel kann d für Distanz und t für Zeit stehen.

In diesem Artikel lernen wir, wie man lineare Gleichungssysteme mit zwei unterhaltsamen Methoden löst. Bevor wir beginnen, wollen wir uns anhand eines Beispiels aus dem wirklichen Leben ansehen, wie wir zu einem bestimmten System gelangen.

Ein System ableiten

Ein Junge steigt auf sein Fahrrad und fährt zur Schule. Er fährt jede Minute 200 Meter.

6 Minuten später merkt seine Mutter, dass ihr Sohn sein Mittagessen vergessen hat. Sie steigt auf ihr eigenes Fahrrad und folgt dem Jungen. Sie fährt jede Minute 500 Meter (sie ist Olympiasiegerin und Goldmedaillengewinnerin).

Wir wollen herausfinden, wie lange die Mutter braucht, um den Jungen einzuholen, und wie weit sie dafür reiten muss.

Da der Junge jede Minute 200 Yards zurücklegt , wird er in t Minuten 200 mal t Yards oder 200 t Yards zurücklegen .

Seine Mutter fährt 6 Minuten später mit dem Fahrrad , also fährt sie (t - 6) Minuten. Da sie jede Minute 500 Yards zurücklegt, legt sie in (t - 6) Minuten 500 mal (t - 6) Yards oder 500 (t - 6) Yards zurück.

Als sie ihn einholt, haben beide die gleiche Strecke zurückgelegt. Nehmen wir vorerst an, dass der Abstand d ist .

Für den Jungen haben wir   d = 200t und für seine Mutter haben wir d = 500 (t - 6) . Wir haben jetzt unser System aus zwei Gleichungen.

Oft wird eine geschweifte Klammer hinzugefügt, um anzuzeigen, dass Gleichungen ein System bilden.

Nun wollen wir sehen, wie wir dieses System lösen können.

Lösen durch Substitution

Die erste Methode, die wir betrachten werden, verwendet die Substitution .

Wir haben hier zwei Unbekannte, d und t . Die Idee ist, eine Variable zu entfernen, indem Sie sie mit der anderen Variablen ausdrücken.

Die obere Gleichung sagt uns, dass d = 200t ist , also lassen Sie uns 200t für das d in der unteren Gleichung einstecken . Als Ergebnis haben wir eine Gleichung nur mit der Variablen t .

Zuerst erweitern wir die rechte Seite: 500 (t -6) = 500t - 500 * 6 = 500t - 3000 .

Dann vereinfachen wir, indem wir die unbekannten Mitglieder auf die eine Seite und die bekannten Mitglieder auf die andere Seite verschieben. Das Ergebnis ist: 500t - 200t = 3000 .

Das Auflösen nach t ergibt t = 10 , oder da wir die Zeit in Minuten messen, ist t = 10 Minuten . Mit anderen Worten, die Mutter wird ihren Sohn in 10 Minuten einholen.

Der zweite Teil unseres Problems besteht darin, herauszufinden, wie weit sie radeln musste, um ihn einzuholen.

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir d finden . Das Einsetzen von t = 10 in eine der Gleichungen gibt uns diese Antwort.

Verwenden Sie zur Vereinfachung die obere Gleichung d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Da wir die Entfernung in Yards messen, ist d = 2000 Yards .

Lassen Sie uns Ihr bisheriges Verständnis testen - versuchen Sie, das nächste System selbst zu lösen:

{

y = 2x

y = 3 (x - 1)

Wählen Sie 1 Antwort


x = 3 und y = 6
x = 1 und y = 2
x = 6 und y = 3
x = 1/2 und y = 2/3
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Im obigen System sind die unbekannten Variablen x und y .

Aus der oberen Gleichung wissen wir, dass y = 2x ist . Wenn wir dies durch die untere Gleichung ersetzen, erhalten wir 2 (2x) = 3 (x + 1) .

Sobald wir erweitern und vereinfachen, erhalten wir 4x = 3x + 3 . Oder x = 3 . Daher ist y = 2 · 3 = 6 .

Lösen durch grafische Darstellung

Die zweite Methode, die wir betrachten werden, verwendet die grafische Darstellung .wo wir die Lösung für ein Gleichungssystem finden, indem wir sie grafisch darstellen.

Nehmen wir zum Beispiel dieses System: y = 2x + 3 und y = 9 - x .

Ein Graph jeder Gleichung ist eine Linie. Der erste für y = 2x + 3 sieht folgendermaßen aus:  

Als nächstes können wir eine Linie für y = 9 - x grafisch darstellen :  

Diese beiden Linien schneiden sich an genau einem Punkt. Dieser Punkt ist die einzige Lösung für beide Gleichungen:

Das geordnete Paar (2, 7) gibt uns die Koordinaten unseres Schnittpunktes. Dieses Paar ist die Lösung für das System. Durch Ersetzen von x = 2 und y = 7 können wir dies überprüfen.

Was ist, wenn die Diagramme parallel sind und sich überhaupt nicht schneiden? Zum Beispiel:

Wenn sich Graphen der Gleichungen nicht schneiden, bedeutet dies, dass unser System keine Lösung hat. Der Versuch, durch Substitution zu lösen, wird dies beweisen.

Das Ergebnis von x - 1 = x - 3 ist 0 = -2 , was immer falsch ist .

Was aber, wenn zwei Diagramme gleich sind und direkt übereinander liegen?

In solchen Fällen gibt es unendlich viele Schnittpunkte. Das heißt, unser System hat unendlich viele Lösungen. Die Verwendung der Substitutionsmethode wird dies beweisen.

Das Ergebnis von x - 2 = x - 2 ist 0 = 0 , was immer wahr ist .

Mehr Übung

Versuchen Sie, sowohl die Substitutions- als auch die Grafikmethode zu verwenden, um die folgenden Systeme zu lösen. Diese Methoden ergänzen sich und helfen Ihnen, Ihr Wissen zu festigen.

{

y = 2

3y - 2x = 4

Wählen Sie 1 Antwort


System hat keine Lösung
x = 1/2 und y = 1
x = 1 und y = 2
x = 0 und y = 2
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Die Auswahl einer bestimmten Variablen für die Substitution sollte die Suche nach einer Lösung erleichtern.

Versuchen Sie, x mit zwei anderen Elementen in der oberen Gleichung auszudrücken , und setzen Sie das Ergebnis in die untere Gleichung ein. Auf diese Weise vermeiden Sie den Umgang mit Brüchen.

{

x + 5y = 7

3x - 2y = 4

Wählen Sie 1 Antwort


x = 5 und y = 5/2
x = 1 und y = 2
x = 1 und y = 1
x = 2 und y = 1
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Lassen Sie uns noch eine Herausforderung machen:

{

-6x - 8y = 4

y = -x - 1

Wählen Sie 1 Antwort


x = -2 und y = 1
Unendlich viele Lösungen
x = 2 und y = -1
x = -1/6 und y = 6
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Jetzt, da Sie genug über Substitution und Grafik wissen, können Sie mehr lineare Gleichungen lösen.