Bruchmathematik: Wie man Brüche für Anfänger macht

Wir beschäftigen uns jeden Tag mit Brüchen. Aber was genau ist ein Bruchteil? Wie lernen wir sie besser kennen? In diesem Tutorial werden wir die Grundlagen erforschen und gemeinsam üben, damit Brüche zu wertvollen Helfern im Alltag und darüber hinaus werden können.

Teil 1. Bruchteil als Anteil

Stellen wir uns einen ganzen Kuchen vor, der in 4 gleiche Teile geteilt ist. Ein Teil ist rot schattiert.

Ein roter Teil von vier gleichen Teilen bedeutet, dass 1/4 eines Ganzen schattiert ist. Wenn wir uns gleiche Teile eines Ganzen als Anteile vorstellen, ist ein Anteil eines Kuchens hier rot schattiert.

Die Zahl 1 über der Zeile wird als Zähler bezeichnet . Es zeigt, wie viele Freigaben schattiert sind. Die Zahl 4 unter der Linie wird als Nenner bezeichnet . Es zeigt, in wie viele gleiche Anteile ein Ganzes aufgeteilt ist. Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Der neue Kuchen oben ist in 6 gleiche Anteile aufgeteilt. Daher ist der Nenner gleich 6. Von diesen 6 gleichen Anteilen sind 3 rot schattiert. Daher ist der Zähler gleich 3. Mit anderen Worten, 3/6 des Kuchens ist schattiert.

Testen wir nun, was wir bisher gelernt haben. Wie Sie wissen, gibt es 24 Stunden an einem ganzen Tag. Wenn Sie 6 Stunden studiert haben, welchen Teil des Tages haben Sie studiert?

Welcher Bruchteil eines Tages beträgt 6 Stunden?

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6/24
6
1/3
1/6
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Ein Tag ist in 24 gleiche Anteile unterteilt, die als Stunden bezeichnet werden. Der Nenner wird also 24 sein. Stellen Sie sich die 6 Stunden des Lernens als 6 schattierte Teile des Kuchens vor. Dadurch wird der Zähler gleich 6. Der von uns gesuchte Bruch ist 6/24 .

Teil 2. Brüche vereinfachen

Erinnerst du dich an den Kuchen aus dem vorherigen Beispiel? Es hatte 3/6 davon rot schattiert. Fügen wir zwei neue Kuchen hinzu und schauen sie uns zusammen an.

Der erste Kuchen ist in 4 Teile geteilt und zwei sind rot schattiert. Aber wie wir sehen können, ist das die halbe Miete. Der zweite Kuchen ist in 6 Aktien unterteilt und drei sind rot schattiert. Wieder die Hälfte des Kuchens. Schließlich wird der dritte Kuchen in zwei Hälften geteilt und eine Hälfte ist rot schattiert.

Da es sich in beiden Fällen um eine halbe Torte handelt, können wir daraus schließen, dass die Brüche gleich sind: 2/4 = 3/6 = 1/2 .

Schließlich bleibt durch Multiplizieren oder Teilen des Zählers und des Nenners mit derselben Zahl der Bruch gleich (außer in dem Fall, in dem die Division durch Null erfolgt, was außerhalb des Geltungsbereichs dieses Artikels liegt und hier nicht berücksichtigt wird).

Diese Regel vereinfacht Brüche und erleichtert deren Verwendung. Betrachten wir als Beispiel 4/12. Wenn Sie Zähler und Nenner durch 4 teilen, erhalten Sie (4: 4 ) / (12: 4 ) = 1/3. Es ist Zeit, Ihr Wissen zu testen.

Welcher Bruch entspricht 2/5?

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4/25
5/2
8/20
6/10
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Teil 3. Fraktionen vergleichen

Wenn wir zwei Stücke eines Kuchens sehen, können wir normalerweise erkennen, welches größer ist. Ähnlich wie bei Brüchen gibt es eine einfache Möglichkeit, sie miteinander zu vergleichen.

Angenommen, wir müssen 1/3 und 2/7 vergleichen. Da sie unterschiedliche Nenner haben, haben sie eine unterschiedliche Anzahl von Teilen. Der erste Schritt muss also sein, die Gemeinsamkeiten zu finden . Wir tun dies, indem wir einen gemeinsamen Nenner finden .

Eine der Methoden zum Finden eines gemeinsamen Nenners von zwei oder mehr Brüchen besteht darin, die Nenner miteinander zu multiplizieren. 3 mal 7 = 21 .

Nachdem wir den gemeinsamen Nenner gefunden haben, müssen wir den eigenen Nenner jeder Fraktion durch den gemeinsamen Nenner ersetzen.

Der erste Bruch ist 1/3, also teilen wir 21 durch 3 und die resultierende 7 wird mit diesem Bruchzähler multipliziert. Da der Zähler gleich 1 ist, erhalten wir 7 mal 1 = 7 .

Die zweite Fraktion ist 2/7, also ergibt 21 geteilt durch 7 3. Wenn Sie das 3-fache dieses Fraktionszählers multiplizieren, erhalten Sie 3 mal 2 = 6 .  

Nachdem die Brüche den gleichen Nenner haben, können wir sie endlich vergleichen. 7 Aktien sind mehr als 6 Aktien, daher ist 7/21 größer als 6/21.

Das mathematische Symbol für unser Ergebnis ist das > -Zeichen. 7/21> 6/21 . Es wird als " größer als " gelesen . Das Symbol für weniger als sieht folgendermaßen aus: < . Wir können unser Ergebnis folgendermaßen umschreiben: 6/21 <7/21 .

Vergleiche 3/4 und 5/7

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3/4 ist weniger als 5/7
3/4 ist größer als 5/7
3/4 entspricht 5/7
Sie können nicht verglichen werden
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Teil 4. Brüche hinzufügen

Um Brüche hinzuzufügen, müssen wir erneut einen gemeinsamen Nenner finden. Schauen wir uns das folgende Beispiel an.

Wir müssen 2/7 und 3/9 hinzufügen . Der gemeinsame Nenner ist 7 mal 9 = 63 . Der nächste Schritt wäre, den eigenen Nenner jeder Fraktion durch den gemeinsamen zu ersetzen.

Für die erste Fraktion ist 63 geteilt durch 7 = 9 und 9 mal 2 = 18 . Das Ergebnis ist 18/63 . Für den zweiten ist 63 geteilt durch 9 = 7 und 7 mal 3 = 21 . Das Ergebnis ist 21/63 .

Als nächstes fügen wir die Zähler hinzu. 18 plus 21 = 39, was uns die Summe von 39/63 ergibt .

Überprüfen Sie als nützliche Gewohnheit immer, ob der resultierende Anteil weiter vereinfacht werden kann.

Wir wissen, dass 39 durch 3 gleichmäßig teilbar ist. 63 ist auch durch 3 gleichmäßig teilbar. Da sowohl Zähler als auch Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden, bleibt der Bruch gleich. 39 geteilt durch 3 = 13 und 63 geteilt durch 3 = 21 . Unser Endergebnis ist 13/21 .

Was ist, wenn wir gemischte Zahlen hinzufügen müssen? Um gemischte Zahlen hinzuzufügen, addieren wir zuerst die ganzen Zahlen und dann die Brüche.

Um beispielsweise anderthalb zu zweieinhalb zu addieren, addieren Sie 1 und 2 = 3 und dann 1/2 und 1/2 = 1 . Zum Schluss addiere 3 und 1 = 4 . Lassen Sie uns etwas üben und daran denken, wie Sie die Ergebnisse vereinfachen können.

Was ist das Ergebnis von 4/6 + 2/9?

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8/9
9/8
1/2
7/18
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Teil 5. Brüche subtrahieren

Wir beginnen mit zwei einfachen Brüchen. Subtrahieren Sie 1/3 von 3/5. Wie bei der Addition müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden. Wenn wir also unsere Nenner multiplizieren, entspricht dies 3 mal 5 = 15 .

Als nächstes ersetzen wir alte Nenner durch den gemeinsamen.  

Dann müssen wir unsere Zähler finden. Für die erste Fraktion ist 15 geteilt durch 5 = 3 und 3 mal 3 = 9 . Das Ergebnis ist 9/15 . Für den zweiten ist 15 geteilt durch 3 = 5 und 5 mal 1 = 5 . Das Ergebnis ist 5/15 .

Der letzte Schritt besteht darin, die angepassten Zähler zu subtrahieren: 9 minus 5 = 4. Der resultierende Bruch entspricht 4/15 .  

Betrachten wir nun den Fall, in dem ein Bruch von einer ganzen Zahl subtrahiert werden muss . Beginnen wir mit 1 - 2/7 .

Sie erinnern sich aus früheren Abschnitten, dass eine ganze Zahl wie ein Kuchen ist, der vollständig schattiert ist. Wenn also ein Kuchen in 3 Teile geteilt wird, sind alle 3 Teile schattiert. Wenn es in 7 Teile unterteilt ist, werden 7 Teile schattiert. Also 1 = 3/3 = 7/7 usw.

Da wir 2/7 subtrahieren müssen , verwandeln wir 1 Ganzes in 7/7 , um unsere Aufgabe zu vereinfachen. 7/7 minus 2/7 = 5/7 . Wenn die ganze Zahl nicht 1 ist , schreiben wir sie als gemischte Zahl und folgen den Schritten aus dem letzten Beispiel.

Subtrahieren wir also 2/7 von 3 .

Als Ergebnis von Berechnungen erhalten wir häufig einen Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist. Solche Fraktionen werden als falsche Fraktionen bezeichnet. Zum Beispiel 5/3 (fünf Drittel), 7/2 (sieben Hälften) und so weiter. Sie können in gemischte Zahlen umgewandelt werden und umgekehrt.

Alle bisher behandelten Regeln gelten auch für unzulässige Brüche.

Was ist das Ergebnis von 9/11 - 3/4?

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6/7
6/44
3/44
6/11
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Teil 6. Brüche multiplizieren

Angenommen, wir müssen zwei Brüche multiplizieren, 2/5 mal 3/7 . Der Zähler des Produkts ist das Produkt der Zähler dieser Fraktionen: 2 mal 3 = 6. Der Nenner des Produkts ist das Produkt der Nenner dieser Fraktionen: 5 mal 7 = 35 . Somit ist 2/5 mal 3/7 = 6/35 .

Wenn wir einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren müssen , ist der Zähler des Produkts das Produkt des Zählers des Bruchs und dieser ganzen Zahl . Der Nenner des Produkts bleibt der gleiche wie der Nenner der Fraktion .

Zum Beispiel 3/10 mal 5 = 15/10 . Zur Vereinfachung teilen wir Zähler und Nenner durch 5 und erhalten 3/2.

Wenn wir schließlich gemischte Zahlen multiplizieren müssen, konvertieren wir sie zuerst in falsche Brüche und multiplizieren sie dann wie oben beschrieben. Das folgende Beispiel zeigt die Schritte.

Teil 7. Brüche teilen

Um Brüche zu teilen, drehen Sie den Divisor so, dass sein Zähler zum neuen Nenner und der Nenner zum neuen Zähler wird . Dann multiplizieren Sie einfach die Brüche wie zuvor.

Teilen Sie zum Beispiel 3/7 durch 2/5. Nach dem Umdrehen wird 2/5 zu 5/2 und wir multiplizieren 3/7 mal 5/2 = 15/14 .

Um den Bruch durch eine ganze Zahl zu teilen , invertieren wir diese Zahl und es wird 1 geteilt durch diese Zahl .

Zum Beispiel wird 2 1/2 , 9 wird 1/9 usw. Als nächstes multiplizieren wir wie oben. Wie Sie wahrscheinlich bereits vermutet haben, funktioniert das Teilen gemischter Zahlen genauso. Schauen wir uns das folgende Beispiel an.

Lassen Sie uns Ihr Wissen testen.

Was ist das Ergebnis von 11/3 geteilt durch 11/7?

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3/7
3
7
7/3
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Teil 8. Einige praktische Beispiele

Um einen Bruchteil einer Zahl zu finden, müssen wir die angegebene Zahl mit diesem Bruchteil multiplizieren .

Stellen Sie sich vor, Ihr Schulbuch hat 200 Seiten. Wenn Sie 3/5 des Lehrbuchs gelesen haben, wie viele Seiten haben Sie gelesen? Wir erhalten die Zahl, die 200 entspricht. Um 3/5 von 200 zu finden, multiplizieren wir 200 mal 3/5 und erhalten   120 Seiten.

Lösen Sie die nächste Frage selbst. Meine Geburtstagstorte hatte 12 Stück. Ein paar Freunde kamen vorbei und genossen 2/3 des Kuchens. Wie viele Stücke hatten meine Freunde?

Wie viele Stücke hatten meine Freunde?

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2/3
4
9
8
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Schließlich gibt es noch einen Fall, den ich untersuchen möchte. Was ist, wenn wir wissen, was gegeben ist?Bruchteil von einigenZahl ist gleich und wir müssen diese Zahl finden?

Zum Beispiel wissen wir, dass meine Freunde 8 Stück der Geburtstagstorte hatten und das waren 2/3 der ganzen Torte . Wie viele Stücke hatte der Kuchen am Anfang? Um diese ganze Zahl zu finden, müssen wir 8 durch 2/3 teilen , was 12 ist .

Lösen Sie die nächste Frage selbst. Ein Rennwagen fuhr 900 Meter auf einer Strecke, die 3/5 der gesamten Strecke entspricht. Wie lang ist die Rennstrecke?  

Wie lang ist die Rennstrecke?

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1200 Meter
1500 Meter
2700 Meter
540 Meter
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