68-95-99 Regel - Normalverteilung in einfachem Englisch erklärt

Treffen Sie Mason. Er ist ein durchschnittlicher amerikanischer 40-Jähriger: 5 Fuß 10 Zoll groß und verdient 47.000 USD pro Jahr vor Steuern.

Wie oft würden Sie erwarten, jemanden zu treffen, der 10x so viel verdient wie Mason?

Und jetzt, wie oft würden Sie erwarten, jemanden zu treffen, der 10x so groß wie Mason ist?

Ihre Antworten auf die beiden oben genannten Fragen sind unterschiedlich, da die Verteilung der Daten unterschiedlich ist. In einigen Fällen ist 10x überdurchschnittlich häufig. Während in anderen ist es überhaupt nicht üblich.

Was sind Normalverteilungen?

Heute interessieren wir uns für Normaldistributionen. Sie werden durch eine Glockenkurve dargestellt: Sie haben eine Spitze in der Mitte, die sich zu jeder Kante hin verjüngt. Viele Dinge folgen dieser Verteilung, wie Ihre Größe, Ihr Gewicht und Ihr IQ.

Diese Distribution ist aufregend, weil sie symmetrisch ist - was das Arbeiten erleichtert. Sie können viele komplizierte Mathematikaufgaben auf wenige Faustregeln reduzieren, da Sie sich nicht um seltsame Randfälle kümmern müssen.

Zum Beispiel teilt der Peak die Verteilung immer in zwei Hälften. Es gibt die gleiche Masse vor und nach dem Gipfel.

Eine weitere wichtige Eigenschaft ist, dass wir nicht viele Informationen benötigen, um eine Normalverteilung zu beschreiben.

In der Tat brauchen wir nur zwei Dinge:

  1. Der Mittelwert. Die meisten Leute nennen dies einfach "den Durchschnitt". Es ist das, was Sie erhalten, wenn Sie den Wert aller Ihrer Beobachtungen addieren und diese Zahl durch die Anzahl der Beobachtungen dividieren. Zum Beispiel der Durchschnitt dieser drei Zahlen:1, 2, 3 = (1 + 2 + 3) / 3 = 2
  2. Und die Standardabweichung. Dies sagt Ihnen, wie selten eine Beobachtung wäre. Die meisten Beobachtungen liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert. Weniger Beobachtungen sind zwei Standardabweichungen vom Mittelwert. Und noch weniger sind drei Standardabweichungen entfernt (oder weiter).

Der Mittelwert und die Standardabweichung bilden zusammen alles, was Sie über eine Verteilung wissen müssen.

Die 68-95-99 Regel

Die 68-95-99-Regel basiert auf dem Mittelwert und der Standardabweichung. Es sagt:

68% der Bevölkerung liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert.

95% der Bevölkerung liegen innerhalb von 2 Standardabweichungen vom Mittelwert.

99,7% der Bevölkerung liegen innerhalb von 3 Standardabweichungen vom Mittelwert.

Wie berechnet man Normalverteilungen?

Um unser Beispiel fortzusetzen, beträgt die durchschnittliche amerikanische Männergröße 5 Fuß 10 Zoll mit einer Standardabweichung von 4 Zoll. Das heisst:

Nun zum lustigen Teil: Wenden wir an, was wir gerade gelernt haben.

Wie groß ist die Chance, jemanden mit einer Körpergröße zwischen 5 Fuß 10 Zoll und 6 Fuß 2 Zoll zu sehen? (Das heißt, zwischen 70 und 74 Zoll.)

Es ist 34%! Wir nutzen beide Eigenschaften: Die Verteilung ist symmetrisch, was bedeutet, dass die Chancen für (66-70) Zoll und (70-74) Zoll beide 68/2 = 34% betragen.

Versuchen wir es mit einem härteren. Wie groß ist die Chance, jemanden mit einer Körpergröße zwischen 62 und 66 Zoll zu sehen?

Es ist (95-68) / 2 = 13,5%. Beide Außenkanten haben den gleichen Prozentsatz.

Und jetzt Ihr letzter (und härtester Test): Wie groß ist die Chance, jemanden mit einer Körpergröße von mehr als 30 cm zu sehen?

Hier verwenden wir auch die endgültige Eigenschaft: Alles muss sich zu 100% summieren. Die Außenkanten (dh Höhen unter 58 und Höhen über 82) ergeben zusammen (100% - 99,7%) = 0,3%.

Denken Sie daran, dass Sie dies auf jede Normalverteilung anwenden können. Versuchen Sie dasselbe für weibliche Körpergrößen: Der Mittelwert beträgt 65 Zoll und die Standardabweichung beträgt 3,5 Zoll.

Die Chance, jemanden mit einer Größe zwischen 65 und 68,5 Zoll zu sehen, wäre also: ___.

...

...

34%! Es ist genau das gleiche wie unser erstes Beispiel. Es ist +1 Standardabweichung.

Fazit

Wenn Sie diese Regel kennen, können Sie Ihre Sinne ganz einfach kalibrieren. Da alles, was wir zur Beschreibung einer Normalverteilung benötigen, der Mittelwert und die Standardabweichung ist, gilt diese Regel für jede Normalverteilung auf der Welt!

Der herausfordernde Teil besteht in der Tat darin, herauszufinden, ob die Verteilung normal ist oder nicht.

Möchten Sie mehr über das Kalibrieren Ihrer Sinne und kritisches Denken erfahren? Schauen Sie sich den Bayes-Satz an: Ein Rahmen für kritisches Denken.