Eulers Methode anhand von Beispielen erklärt

Was ist Eulers Methode?

Die Euler-Methode ist ein numerisches Verfahren erster Ordnung zum Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE) mit einem gegebenen Anfangswert.

Das allgemeine Anfangswertproblem

Methodik

Eulers Methode verwendet die einfache Formel:

um die Tangente am Punkt zu konstruieren xund den Wert von zu erhalten y(x+h), dessen Steigung ist,

Bei der Euler-Methode können Sie die Kurve der Lösung durch die Tangente in jedem Intervall (dh durch eine Folge von kurzen Liniensegmenten) in Schritten von approximieren h.

Wenn Sie eine kleine Schrittgröße verwenden, erhöht sich im Allgemeinen die Genauigkeit der Approximation.

Allgemeine Formel

Funktionswert an jedem Punkt b, gegeben durchy(b)

wo,

  • n = Anzahl der Schritte
  • h = Intervallbreite (Größe jedes Schritts)

Pseudocode

Beispiel

Finden y(1), gegeben

Bei analytischer Lösung lautet die Lösung y = ex und y(1)= 2.71828. (Hinweis: Diese analytische Lösung dient nur zum Vergleich der Genauigkeit.)

Mit Euler-Methode, wenn man bedenkt h= 0.2, 0.1, 0.01, können Sie die Ergebnisse in der folgenden Abbildung sehen.

Wenn h= 0.2, y(1)= 2.48832(Fehler = 8,46%)

Wenn h= 0.1, y(1)= 2.59374(Fehler = 4,58%)

Wenn h= 0.01, y(1)= 2.70481(Fehler = 0,50%)

Sie können feststellen, wie sich die Genauigkeit verbessert, wenn die Schritte klein sind.