Was ist Eulers Methode?
Die Euler-Methode ist ein numerisches Verfahren erster Ordnung zum Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE) mit einem gegebenen Anfangswert.
Das allgemeine Anfangswertproblem

Methodik
Eulers Methode verwendet die einfache Formel:

um die Tangente am Punkt zu konstruieren x
und den Wert von zu erhalten y(x+h)
, dessen Steigung ist,


Bei der Euler-Methode können Sie die Kurve der Lösung durch die Tangente in jedem Intervall (dh durch eine Folge von kurzen Liniensegmenten) in Schritten von approximieren h
.
Wenn Sie eine kleine Schrittgröße verwenden, erhöht sich im Allgemeinen die Genauigkeit der Approximation.
Allgemeine Formel


Funktionswert an jedem Punkt b
, gegeben durchy(b)

wo,
- n = Anzahl der Schritte
- h = Intervallbreite (Größe jedes Schritts)
Pseudocode

Beispiel
Finden y(1)
, gegeben

Bei analytischer Lösung lautet die Lösung y = ex und y(1)
= 2.71828
. (Hinweis: Diese analytische Lösung dient nur zum Vergleich der Genauigkeit.)
Mit Euler-Methode, wenn man bedenkt h
= 0.2
, 0.1
, 0.01
, können Sie die Ergebnisse in der folgenden Abbildung sehen.

Wenn h
= 0.2
, y(1)
= 2.48832
(Fehler = 8,46%)
Wenn h
= 0.1
, y(1)
= 2.59374
(Fehler = 4,58%)
Wenn h
= 0.01
, y(1)
= 2.70481
(Fehler = 0,50%)
Sie können feststellen, wie sich die Genauigkeit verbessert, wenn die Schritte klein sind.