Tutorial zur Booleschen Algebra-Wahrheitstabelle - Erklärte XOR-, NOR- und Logiksymbole

Wir alle lieben Computer. Sie können so viele erstaunliche Dinge tun. Innerhalb weniger Jahrzehnte haben Computer fast alle Aspekte des menschlichen Lebens vollständig revolutioniert.

Sie können Aufgaben mit unterschiedlichem Grad an Raffinesse erledigen, indem sie einfach Nullen und Einsen umdrehen. Es ist bemerkenswert zu sehen, wie eine so einfache Aktion zu so viel Komplexität führen kann.

Aber ich bin sicher, Sie alle wissen, dass eine solche Komplexität (praktisch) nicht durch zufälliges Umdrehen der Zahlen erreicht werden kann. Es gibt tatsächlich einige Gründe dafür. Es gibt Regeln, die regeln, wie dies getan werden soll. In diesem Artikel werden wir diese Regeln diskutieren und sehen, wie sie die Art und Weise regeln, wie Computer "denken".

Was ist Boolesche Algebra?

Die Regeln, die ich oben erwähnt habe, werden durch ein Gebiet der Mathematik beschrieben, das Boolesche Algebra genannt wird.

In seinem Buch von 1854 schlug der britische Mathematiker George Boole ein systematisches Regelwerk zur Manipulation von Wahrheitswerten vor. Diese Regeln gaben eine mathematische Grundlage für den Umgang mit logischen Sätzen. Diese Grundlagen führten zur Entwicklung der Booleschen Algebra.

Um die Boolesche Algebra am besten zu verstehen, müssen wir zuerst die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen der Booleschen Algebra und anderen Formen der Algebra verstehen.

Die Algebra befasst sich im Allgemeinen mit dem Studium mathematischer Symbole und den Operationen, die an diesen Symbolen ausgeführt werden können.

Diese Symbole haben keine eigene Bedeutung. Sie repräsentieren eine andere Größe. Es ist diese Größe, die diesen Symbolen einen gewissen Wert verleiht, und es ist diese Größe, an der die Operationen tatsächlich ausgeführt werden.

Die Boolesche Algebra befasst sich auch mit Symbolen und den Regeln, die die Operationen an diesen Symbolen regeln, aber der Unterschied liegt in der Darstellung dieser Symbole .

Bei gewöhnlicher Algebra repräsentieren die Symbole die reellen Zahlen, während sie in der Booleschen Algebra die Wahrheitswerte repräsentieren.

Das Bild unten zeigt den gesamten Satz von reellen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen enthält natürliche Zahlen (1, 2, 3, 4 ....), ganze Zahlen (alle natürlichen Zahlen und 0), ganze Zahlen (.....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) und so weiter. Die gewöhnliche Algebra behandelt diesen gesamten Satz von Zahlen.

Im Vergleich dazu bestehen die Wahrheitswerte aus nur zwei Werten: Falsch und Wahr. An dieser Stelle möchte ich darauf hinweisen, dass wir jedes andere Symbol verwenden können, um diese Werte darzustellen.

Zum Beispiel stellen wir diese Werte in der Informatik meistens mit 0 und 1 dar. 0 wird für False und 1 für True verwendet.

Sie können dies auch auf ausgefallenere Weise tun, indem Sie Wahrheitswerte mit einigen anderen Symbolen wie Katzen und Hunden oder Bananen und Orangen darstellen.

Der Punkt hier ist, dass die interne Bedeutung dieser Symbole unabhängig vom verwendeten Symbol gleich bleibt. Stellen Sie jedoch sicher, dass Sie die Symbole während der Ausführung der Vorgänge nicht ändern.

Die Frage ist nun, ob (Richtig und Falsch), (0 und 1) nur die Darstellungen sind, was versuchen sie dann darzustellen?

Die zugrunde liegende Bedeutung hinter Wahrheitswerten stammt aus dem Bereich der Logik, in dem Wahrheitswerte verwendet werden, um festzustellen, ob ein Satz "wahr" oder "falsch" ist. Hier repräsentieren die Wahrheitswerte das Verhältnis eines Satzes zur Wahrheit, dh ob der Satz wahr oder falsch ist.

Ein Vorschlag ist nur eine Aussage wie "Alle Katzen sind süß."

Wenn der obige Satz wahr ist, weisen wir ihm den Wahrheitswert "Wahr" oder "1" zu, andernfalls weisen wir ihm "Falsch" oder "0" zu.

In der digitalen Elektronik werden Wahrheitswerte verwendet, um die Zustände "Ein" und "Aus" elektronischer Schaltungen darzustellen. Wir werden später in diesem Artikel mehr darüber diskutieren.

Boolesche Operationen und Wahrheitstabellen

Genau wie die gewöhnliche Algebra verfügt auch die Boolesche Algebra über Operationen, die auf die Werte angewendet werden können, um einige Ergebnisse zu erzielen. Obwohl diese Operationen denen in der gewöhnlichen Algebra nicht ähnlich sind, arbeitet die Boolesche Algebra, wie bereits erwähnt, eher mit Wahrheitswerten als mit reellen Zahlen.

Die Boolesche Algebra hat drei grundlegende Operationen.

ODER : Auch als Disjunktion bekannt . Diese Operation wird für zwei Boolesche Variablen ausgeführt. Die Ausgabe der ODER-Verknüpfung ist 0, wenn beide Operanden 0 sind, andernfalls ist sie 1.

Um ein klareres Bild davon zu erhalten, was diese Operation bewirkt, können wir sie mithilfe einer Wahrheitstabelle unten visualisieren .

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

UND : Auch als Konjunktion bekannt . Diese Operation wird für zwei Boolesche Variablen ausgeführt. Die Ausgabe von UND-Operationen ist 1, wenn beide Operanden 1 sind, andernfalls ist sie 0. Die Darstellung der Wahrheitstabelle ist wie folgt.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

NICHT : Auch als Negation bekannt . Diese Operation wird nur für eine Variable ausgeführt. Wenn der Wert der Variablen 1 ist, konvertiert diese Operation sie einfach in 0, und wenn der Wert der Variablen 0 ist, konvertiert sie ihn in 1.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

Boolesche Algebra und digitale Schaltungen

Nach ihrer anfänglichen Entwicklung blieb die Boolesche Algebra sehr lange eines der Konzepte in der Mathematik, die keine wesentlichen praktischen Anwendungen hatten.

In den 1930er Jahren erkannte Claude Shannon, ein amerikanischer Mathematiker, dass die Boolesche Algebra in Schaltkreisen verwendet werden kann, in denen die binären Variablen die Spannungssignale "niedrig" und "hoch" oder die Zustände "ein" und "aus" darstellen können.

Diese einfache Idee, Schaltkreise mit Hilfe der Booleschen Algebra herzustellen, führte zur Entwicklung der digitalen Elektronik, die maßgeblich zur Entwicklung von Schaltkreisen für Computer beitrug.

Digitale Schaltungen implementieren die Boolesche Algebra mit Hilfe von Logic Gates. Logikgatter sind die Schaltungen, die eine boolesche Operation darstellen. Zum Beispiel repräsentiert ein ODER-Gatter eine ODER-Operation. Gleiches gilt auch für NOT- und AND-Gates.

Neben den grundlegenden Logikgattern gibt es auch Logikgatter, die mithilfe der Kombination der grundlegenden Logikgatter erstellt werden können.

NAND: NAND gate is formed by a combination of the NOT and AND gates. NAND gate gives an output of 0 if both inputs are 1, otherwise 1.

NAND gate holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NAND gates only.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR: NOR gate is formed by a combination of NOT and OR gates. NOR gate gives an output of 1 if both inputs are 0, otherwise 0.

NOR gate, just like NAND gate, holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NOR gates only.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Most digital circuits are built using NAND or NOR gates because of their functional completeness property and also because they are easy to fabricate.

Other than the above mentioned gates we also have some special kind of gates which serve some specific purpose. These are as follows:

XOR: XOR gate or Exclusive-OR gate is a special type of logic gate which gives 0 as output if both of the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR: XNOR gate or Exclusive-NOR gate is a special type of logic gate which gives 1 as output when both the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Conclusion

So, with all that we can now conclude our discussion on Boolean Algebra here. I hope by now you have a decent picture of what Boolean Algebra is all about.

This is definitely not all you need to know about Boolean Algebra. Boolean Algebra has a lot of concepts and details that we were not able to discuss in this article.