Binäre Suchbäume: BST anhand von Beispielen erläutert

Was ist ein binärer Suchbaum?

Ein Baum ist eine Datenstruktur aus Knoten mit den folgenden Merkmalen:

  1. Jeder Baum hat oben einen Stammknoten (auch als übergeordneter Knoten bezeichnet), der einen Wert enthält (kann ein beliebiger Datentyp sein).
  2. Der Wurzelknoten hat null oder mehr untergeordnete Knoten.
  3. Jeder untergeordnete Knoten hat null oder mehr untergeordnete Knoten usw. Dadurch wird ein Teilbaum im Baum erstellt. Jeder Knoten hat einen eigenen Teilbaum, der aus seinen untergeordneten Elementen und ihren untergeordneten Elementen usw. besteht. Dies bedeutet, dass jeder Knoten für sich ein Baum sein kann.

Ein binärer Suchbaum (BST) fügt diese beiden Merkmale hinzu:

  1. Jeder Knoten hat maximal zwei untergeordnete Knoten.
  2. Für jeden Knoten sind die Werte seiner linken absteigenden Knoten kleiner als die des aktuellen Knotens, was wiederum kleiner ist als die der rechten absteigenden Knoten (falls vorhanden).

Das BST basiert auf der Idee des binären Suchalgorithmus, der ein schnelles Nachschlagen, Einfügen und Entfernen von Knoten ermöglicht. Die Art und Weise, wie sie eingerichtet sind, bedeutet, dass die Operationen im Durchschnitt bei jedem Vergleich etwa die Hälfte des Baums überspringen können, sodass jede Suche, Einfügung oder Löschung Zeit benötigt, die proportional zum Logarithmus der Anzahl der im Baum gespeicherten Elemente ist.   O(log n). Manchmal kann jedoch der schlimmste Fall eintreten, wenn der Baum nicht ausgeglichen ist und die Zeitkomplexität   O(n)  für alle drei dieser Funktionen gilt. Aus diesem Grund sind selbstausgleichende Bäume (AVL, Rot-Schwarz usw.) viel effektiver als die Basis-BST.

Beispiel für ein Worst-Case-Szenario:  Dies kann passieren, wenn Sie immer wieder Knoten hinzufügen, die immer  größer als der vorherige Knoten (sein übergeordnetes Element) sind. Dies kann auch passieren   , wenn Sie immer Knoten hinzufügen, deren Werte niedriger sind als deren übergeordnete Knoten.

Grundlegende Operationen auf einer BST

  • Erstellen: Erstellt einen leeren Baum.
  • Einfügen: Fügen Sie einen Knoten in den Baum ein.
  • Suchen: Sucht nach einem Knoten im Baum.
  • Löschen: Löscht einen Knoten aus dem Baum.
  • Inorder: In-Order-Durchquerung des Baumes.
  • Vorbestellung: Durchlaufen des Baums vorbestellen.
  • Nachbestellung: Nachbestellungsdurchquerung des Baumes.

Erstellen

Zunächst wird ein leerer Baum ohne Knoten erstellt. Die Variable / Kennung, die auf den Wurzelknoten zeigen muss, wird mit einem NULL  Wert initialisiert   .

Suche

Sie beginnen immer mit der Suche im Baum am Wurzelknoten und gehen von dort aus nach unten. Sie vergleichen die Daten in jedem Knoten mit denen, die Sie suchen. Wenn der verglichene Knoten nicht übereinstimmt, fahren Sie entweder mit dem rechten oder dem linken Kind fort. Dies hängt vom Ergebnis des folgenden Vergleichs ab: Wenn der gesuchte Knoten niedriger ist als der, mit dem Sie ihn verglichen haben, Sie gehen zum linken Kind, andernfalls (wenn es größer ist) gehen Sie zum rechten Kind. Warum? Da die BST (gemäß ihrer Definition) strukturiert ist, ist das rechte Kind immer größer als das Elternteil und das linke Kind immer kleiner.

Breitensuche (BFS)

Die Breitensuche ist ein Algorithmus, der zum Durchlaufen einer BST verwendet wird. Es beginnt am Wurzelknoten und bewegt sich seitlich (von Seite zu Seite), um nach dem gewünschten Knoten zu suchen. Diese Art der Suche kann als O (n) beschrieben werden, da jeder Knoten einmal besucht wird und die Größe des Baums direkt mit der Länge der Suche korreliert.

Tiefensuche (DFS)

Bei einem Tiefensuchansatz beginnen wir mit dem Wurzelknoten und wandern einen einzelnen Zweig hinunter. Wenn der gewünschte Knoten entlang dieses Zweigs gefunden wird, großartig, aber wenn nicht, fahren Sie nach oben fort und suchen Sie nach nicht besuchten Knoten. Diese Art der Suche hat auch eine große O-Notation von O (n).

Einfügen

Es ist der Suchfunktion sehr ähnlich. Sie beginnen erneut an der Wurzel des Baums und gehen rekursiv nach unten, um nach der richtigen Stelle zum Einfügen unseres neuen Knotens zu suchen, wie in der Suchfunktion erläutert. Wenn sich bereits ein Knoten mit demselben Wert im Baum befindet, können Sie entweder das Duplikat einfügen oder nicht. Einige Bäume erlauben Duplikate, andere nicht. Dies hängt von der jeweiligen Implementierung ab.

Streichung

Es gibt 3 Fälle, die auftreten können, wenn Sie versuchen, einen Knoten zu löschen. Wenn ja,

  1. Kein Teilbaum (keine Kinder): Dieser ist der einfachste. Sie können den Knoten einfach löschen, ohne dass zusätzliche Aktionen erforderlich sind.
  2. Ein Teilbaum (ein untergeordnetes Element): Sie müssen sicherstellen, dass das untergeordnete Element nach dem Löschen des Knotens mit dem übergeordneten Knoten des gelöschten Knotens verbunden ist.
  3. Two subtrees (two children): You have to find and replace the node you want to delete with its inorder successor (the leftmost node in the right subtree).

The time complexity for creating a tree is  O(1) . The time complexity for searching, inserting or deleting a node depends on the height of the tree  h , so the worst case is  O(h)  in case of skewed trees.

Predecessor of a node

Predecessors can be described as the node that would come right before the node you are currently at. To find the predecessor of the current node, look at the right-most/largest leaf node in the left subtree.

Successor of a node

Successors can be described as the node that would come right after the the current node. To find the successor of the current node, look at the left-most/smallest leaf node in the right subtree.

Special types of BT

  • Heap
  • Red-black tree
  • B-tree
  • Splay tree
  • N-ary tree
  • Trie (Radix tree)

Runtime

Data structure: BST

  • Worst-case performance:  O(n)
  • Best-case performance:  O(1)
  • Average performance:  O(log n)
  • Worst-case space complexity:  O(1)

Where  n  is the number of nodes in the BST. Worst case is O(n) since BST can be unbalanced.

Implementation of BST

Here's a definition for a BST node having some data, referencing to its left and right child nodes.

struct node { int data; struct node *leftChild; struct node *rightChild; }; 

Search Operation

Whenever an element is to be searched, start searching from the root node. Then if the data is less than the key value, search for the element in the left subtree. Otherwise, search for the element in the right subtree. Follow the same algorithm for each node.

struct node* search(int data){ struct node *current = root; printf("Visiting elements: "); while(current->data != data){ if(current != NULL) { printf("%d ",current->data); //go to left tree if(current->data > data){ current = current->leftChild; }//else go to right tree else { current = current->rightChild; } //not found if(current == NULL){ return NULL; } } } return current; } 

Insert Operation

Whenever an element is to be inserted, first locate its proper location. Start searching from the root node, then if the data is less than the key value, search for the empty location in the left subtree and insert the data. Otherwise, search for the empty location in the right subtree and insert the data.

void insert(int data) { struct node *tempNode = (struct node*) malloc(sizeof(struct node)); struct node *current; struct node *parent; tempNode->data = data; tempNode->leftChild = NULL; tempNode->rightChild = NULL; //if tree is empty if(root == NULL) { root = tempNode; } else { current = root; parent = NULL; while(1) { parent = current; //go to left of the tree if(data data) { current = current->leftChild; //insert to the left if(current == NULL) { parent->leftChild = tempNode; return; } }//go to right of the tree else { current = current->rightChild; //insert to the right if(current == NULL) { parent->rightChild = tempNode; return; } } } } } 

Delete Operation

void deleteNode(struct node* root, int data){ if (root == NULL) root=tempnode; if (data key) root->left = deleteNode(root->left, key); else if (key > root->key) root->right = deleteNode(root->right, key); else { if (root->left == NULL) { struct node *temp = root->right; free(root); return temp; } else if (root->right == NULL) { struct node *temp = root->left; free(root); return temp; } struct node* temp = minValueNode(root->right); root->key = temp->key; root->right = deleteNode(root->right, temp->key); } return root; } 

Binary search trees (BSTs) also give us quick access to predecessors and successors. Predecessors can be described as the node that would come right before the node you are currently at.

  • To find the predecessor of the current node, look at the rightmost/largest leaf node in the left subtree. Successors can be described as the node that would come right after the node you are currently at.
  • To find the successor of the current node, look at the leftmost/smallest leaf node in the right subtree.

Let's look at a couple of procedures operating on trees.

Since trees are recursively defined, it's very common to write routines that operate on trees that are themselves recursive.

So for instance, if we want to calculate the height of a tree, that is the height of a root node, We can go ahead and recursively do that, going through the tree. So we can say:

  • For instance, if we have a nil tree, then its height is a 0.
  • Otherwise, We're 1 plus the maximum of the left child tree and the right child tree.
  • So if we look at a leaf for example, that height would be 1 because the height of the left child is nil, is 0, and the height of the nil right child is also 0. So the max of that is 0, then 1 plus 0.

Height(tree) algorithm

if tree = nil: return 0 return 1 + Max(Height(tree.left),Height(tree.right)) 

Here is the code in C++

int maxDepth(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else { int rDepth = maxDepth(node->right); int lDepth = maxDepth(node->left); if (lDepth > rDepth) { return(lDepth+1); } else { return(rDepth+1); } } } 

We could also look at calculating the size of a tree that is the number of nodes.

  • Again, if we have a nil tree, we have zero nodes.
  • Otherwise, we have the number of nodes in the left child plus 1 for ourselves plus the number of nodes in the right child. So 1 plus the size of the left tree plus the size of the right tree.

Size(tree) algorithm

if tree = nil return 0 return 1 + Size(tree.left) + Size(tree.right) 

Here is the code in C++

int treeSize(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else return 1+(treeSize(node->left) + treeSize(node->right)); } 

Traversal

There are 3 kinds of traversals that are done typically over a binary search tree. All these traversals have a somewhat common way of going over the nodes of the tree.

In-order

This traversal first goes over the left subtree of the root node, then accesses the current node, followed by the right subtree of the current node. The code represents the base case too, which says that an empty tree is also a binary search tree.

void inOrder(struct node* root) { // Base case if (root == null) { return; } // Travel the left sub-tree first. inOrder(root.left); // Print the current node value printf("%d ", root.data); // Travel the right sub-tree next. inOrder(root.right); } 

Pre-order

This traversal first accesses the current node value, then traverses the left and right sub-trees respectively.

void preOrder(struct node* root) { if (root == null) { return; } // Print the current node value printf("%d ", root.data); // Travel the left sub-tree first. preOrder(root.left); // Travel the right sub-tree next. preOrder(root.right); } 

Post-order

This traversal puts the root value at last, and goes over the left and right sub-trees first. The relative order of the left and right sub-trees remain the same. Only the position of the root changes in all the above mentioned traversals.

void postOrder(struct node* root) { if (root == null) { return; } // Travel the left sub-tree first. postOrder(root.left); // Travel the right sub-tree next. postOrder(root.right); // Print the current node value printf("%d ", root.data); } 

Relevant videos on freeCodeCamp YouTube channel

And Binary Search Tree: Traversal and Height

Following are common types of Binary Trees:

Full Binary Tree/Strict Binary Tree: A Binary Tree is full or strict if every node has exactly 0 or 2 children.

 18 / \ / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 

In Full Binary Tree, number of leaf nodes is equal to number of internal nodes plus one.

Complete Binary Tree: A Binary Tree is complete Binary Tree if all levels are completely filled except possibly the last level and the last level has all keys as left as possible

 18 / \ / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 / \ / 8 7 9 

Perfect Binary Tree A Binary tree is Perfect Binary Tree in which all internal nodes have two children and all leaves are at the same level.

 18 / \ / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 

Augmenting a BST

Sometimes we need to store some additional information with the traditional data structures to make our tasks easier. For example, consider a scenario where you are supposed to find the ith smallest number in a set. You can use brute force here but we can reduce the complexity of the problem to O(lg n) by augmenting a red-black or any self-balancing tree (where n is the number of elements in the set). We can also compute rank of any element in O(lg n) time. Let us consider a case where we are augmenting a red-black tree to store the additional information needed. Besides the usual attributes, we can store number of internal nodes in the subtree rooted at x(size of the subtree rooted at x including the node itself). Let x be any arbitrary node of a tree.

x.size = x.left.size + x.right.size + 1

While augmenting the tree, we should keep in mind, that we should be able to maintain the augmented information as well as do other operations like insertion, deletion, updating in O(lg n) time.

Since, we know that the value of x.left.size will give us the number of nodes which proceed x in the order traversal of the tree. Thus, x.left.size + 1 is the rank of x within the subtree rooted at x.