Vervollständigen der Quadratformel: So vervollständigen Sie das Quadrat mit einer quadratischen Gleichung

Betrachten Sie die folgende quadratische Gleichung: x2 = 9 . Wenn wir darum gebeten würden, es zu lösen, würden wir natürlich die Quadratwurzel von 9 nehmen und am Ende 3 und -3 erhalten . Aber was ist, wenn einfache Quadratwurzelmethoden nicht funktionieren? Was ist, wenn die Gleichung x enthält, das auf die erste Potenz angehoben ist und nicht einfach berücksichtigt werden kann?

Glücklicherweise gibt es eine Methode zum Ausfüllen des Quadrats . Infolgedessen kann eine quadratische Gleichung gelöst werden, indem die Quadratwurzel gezogen wird. Lassen Sie uns dies Schritt für Schritt gemeinsam untersuchen.

Angenommen, wir erhalten die folgende Gleichung:

BEISPIEL 1: Vervollständigen des Quadrats

SCHRITT 1: Trennen Sie die variablen Terme vom konstanten Term

Vereinfachen wir unsere Gleichung. Trennen Sie zunächst die Begriffe, die Variablen enthalten, von den konstanten Begriffen. Als nächstes subtrahieren Sie x von 13x (Ergebnis ist 12x ) und subtrahieren 7 von 6 (Ergebnis ist -1 ).

SCHRITT 2: Stellen Sie sicher, dass der Koeffizient von X im Quadrat gleich 1 ist

Die Methode zum Vervollständigen des Quadrats funktioniert viel einfacher, wenn der Koeffizient von x2 gleich ist1 . Der Koeffizient in unserem Fall beträgt 4 . Teilen4 in jedes Mitglied ergibt x2 + 3x = - 1/4 .

SCHRITT 3: Vervollständige das Quadrat

Zuerst müssen wir den konstanten Term unseres vollständigen Quadrats finden. Der Koeffizient von x , der gleich ist3 wird durch 2 geteilt und quadriert, was uns 9/4 gibt .

Dann addieren und subtrahieren wir 9/4 wie oben gezeigt. Dies wirkt sich nicht auf unsere Gleichung aus ( 9/4 - 9/4 = 0 ), sondern gibt uns einen Ausdruck für das vollständige Quadrat x2 + 3x + 9/4 .

SCHRITT 4: Faktor Der Ausdruck X im Quadrat + 3X + 9/4

Erinnern wir uns nun an ein allgemeineres (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2 und verwenden es im aktuellen Beispiel. Wenn wir unsere Zahlen einsetzen, erhalten wir:   x2 + 3x + 9/4 = x2 + 2 * (3/2) * x + (3/2) 2 = (x + 3/2) 2 .

SCHRITT 5: Nehmen Sie die Quadratwurzel

Wenn wir schließlich die Quadratwurzel von beiden Seiten ziehen, erhalten wir √ (x + 3/2) 2 = ± √2 . Oder einfachx + 3/2 = ± √2 . Wir schließen dies mit der Lösung nach x : X 1 = √2 - 3/2und X 2 = - √2 - 3/2 .

BEISPIEL 2: Lösen wir noch eines

SCHRITT 1: Trennen Sie die variablen Terme vom konstanten Term

Vereinfachen Sie dies, indem Sie die Begriffe mit Variablen von konstanten Begriffen trennen. Führen Sie dann auf beiden Seiten der Gleichung eine Subtraktion und Addition durch.

SCHRITT 2: Stellen Sie sicher, dass der Koeffizient von x im Quadrat gleich 1 ist

Hier ist der Koeffizient von X2 bereits gleich 1 , sodass keine weiteren Maßnahmen erforderlich sind.

SCHRITT 3: Vervollständige das Quadrat

Wie im vorherigen Beispiel finden wir den konstanten Term unseres vollständigen Quadrats. Der Koeffizient von x , der gleich ist-8 wird durch 2 geteilt und quadriert, was uns 16 ergibt .

Wir addieren und subtrahieren 16 und können sehen, dass x2 - 8x + 16 ein vollständiges Quadrat ergibt.

SCHRITT 4: Faktor Der Ausdruck X im Quadrat - 8X + 16

Da der konstante Term -8 das Minuszeichen hat, verwenden wir diese allgemeine Form: (x - a) 2 = x2 - 2ax + a2 . Die Verwendung unserer Zahlen ergibt: x2 - 8x + 16 = x2 - 2 * (4) * x + (4) 2 = (x - 4) 2 .                              

SCHRITT 5: Nehmen Sie die Quadratwurzel

Wenn wir schließlich die Quadratwurzel von beiden Seiten ziehen, erhalten wir √ (x - 4) 2 = ± √11 . Oder einfachx - 4 = ± √11 . Wir schließen dies mit der Lösung nach x : X 1 = 4 + √11und X 2 = 4 - √11

Und da hast du es!