Permutation und Kombination: Der mit Formelbeispielen erklärte Unterschied

Permutationen und Kombinationen sind in so vielen Anwendungen sehr nützlich - von der Computerprogrammierung über die Wahrscheinlichkeitstheorie bis zur Genetik.

Ich werde Ihnen diese beiden Konzepte nebeneinander vorstellen, damit Sie sehen können, wie nützlich sie sind.

Der Hauptunterschied zwischen diesen beiden Konzepten liegt in der Reihenfolge. Bei Permutationen konzentrieren Sie sich auf Listen von Elementen, bei denen die Reihenfolge von Bedeutung ist.

Zum Beispiel wurde ich 1977 geboren . Das ist Nummer 1, gefolgt von Nummer 9 , gefolgt von Nummer 7 , gefolgt von Nummer 7 . In dieser bestimmten Reihenfolge.

Wenn ich stattdessen die Reihenfolge auf 7917 ändere , wäre das ein ganz anderes Jahr. Somit ist die Reihenfolge wichtig .

Mit Kombinationen auf der anderen Seite liegt der Fokus auf Gruppen von Elementen , bei denen die Reihenfolge nicht nicht egal.

Wie meine Tasse Kaffee ist eine Kombination aus Kaffee , Zucker und Wasser . Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge ich diese Zutaten hinzufüge. Es kann auch Wasser , Zucker und Kaffee geben , es ist immer noch dieselbe Tasse Kaffee. Somit ist die Reihenfolge nicht nicht egal.

Schauen wir uns nun diese Konzepte genauer an.

Teil 1: Permutationen

Permutationen, bei denen Wiederholungen zulässig sind

Stellen Sie sich vor, Sie haben ein neues Telefon. Wenn Sie dieses neue Telefon verwenden, werden Sie irgendwann aufgefordert, ein Kennwort einzurichten.

Nahaufnahme und persönlich

Das Passwort muss aus 4 Ziffern bestehen. Beliebige 4 Ziffern. Und sie können wiederholt werden.

Insgesamt gibt es zunächst 10 Ziffern. Dies sind: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Für die erste Ziffer Ihres Passworts haben Sie also 10 Möglichkeiten.

Da Sie möglicherweise dieselbe Ziffer erneut verwenden, beträgt die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten für die zweite Ziffer unseres Passworts wieder 10 ! Wenn Sie also bisher zwei der Kennwortziffern auswählen, sind die Permutationen 10 mal 10 oder 10 x 10 = 100 oder 102 .

Das gleiche gilt für die dritte Ziffer Ihres Passworts. Sie können wieder aus den gleichen 10 Auswahlmöglichkeiten wählen. Dieses Mal haben Sie 10 mal 10 mal 10 oder 10 x 10 x 10 = 1.000 oder 103 Permutationen.

Schließlich haben wir für die vierte Ziffer des Passworts und die gleichen 10 Ziffern zur Auswahl 10 mal 10 mal 10 mal 10 oder 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 oder 104 Permutationen.

Wie Sie wahrscheinlich bemerkt haben , hatten Sie vier Entscheidungen zu treffen und Sie multipliziert 10 vier mal (10 x 10 x 10 x 10) bei einer Gesamtzahl von Permutationen (10.000) zu gelangen. Wenn Sie wählen haben drei Ziffern für Ihr Kennwort ein , würden Sie 10 multiplizieren drei Mal. Wenn 7 , würden Sie es sieben Mal tun und so weiter.

Im Leben geht es jedoch nicht nur um Passwörter mit Ziffern zur Auswahl. Was ist, wenn Sie eine Geburtstagsfeier haben und 5 farbige Luftballons aus 20 verschiedenen Farben auswählen müssen ?

Da Sie aus 20 verschiedenen Farben auswählen können und möglicherweise wieder dieselbe Farbe auswählen, haben Sie für jeden Ballon 20 Auswahlmöglichkeiten. Der erste Ballon ist 20 , der zweite Ballon ist 20 mal 20 oder 20 x 20 = 400 usw. Für den fünften Ballon erhalten Sie 20 x 20 x 20 x 20 x 20 = 3.200.000 oder 205 Permutationen.

Fassen wir mit der allgemeinen Regel zusammen: Wenn Reihenfolge und Wiederholung zulässig sind, wenn n die Anzahl der Dinge ist, aus denen Sie auswählen können (Luftballons, Ziffern usw.), und Sie r davon auswählen (5 Luftballons für die Gruppe, 4 Ziffern für das Passwort) usw.) ist die Anzahl der Permutationen gleich P = nr .

Permutationen, bei denen Wiederholungen nicht zulässig sind

Als nächstes betrachten wir den Fall, in dem Wiederholungen nicht zulässig sind . Als Beispiel betrachten wir die Planeten unseres Sonnensystems.

Wie viele verschiedene Arten können Sie diese 8 Planeten anordnen ? Die Planeten sind: Merkur , Venus , Erde , Mars , Jupiter , Saturn , Uranus und Neptun . Nachdem Sie beispielsweise Merkur ausgewählt haben, können Sie es nicht mehr auswählen. Daher müssen Sie die Anzahl der verfügbaren Optionen bei jeder Auswahl des Planeten reduzieren.

Die erste Wahl hat 8 Möglichkeiten. Die zweite Wahl hat 8 minus 1 gleich 7 Möglichkeiten, dann 6 , gefolgt von 5 , gefolgt von 4, bis wir noch 1 Planeten in der Liste haben.

Nach der Logik aus dem vorherigen Szenario beträgt die Gesamtzahl der Permutationen: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 .

Mit anderen Worten, dies ist ein Produkt der ganzen Zahl 8 und aller positiven ganzen Zahlen darunter. Dieses Produkt heißt Factorial und ist mit einem Ausrufezeichen wie folgt gekennzeichnet: 8!

Die Anzahl der Permutationen beträgt P = 8! oder allgemeiner P = n!

Was ist, wenn Sie beispielsweise nur 5 dieser 8 Planeten anstelle aller arrangieren müssen? Dann machen Sie nur die ersten 5 Schritte unserer Methode. Das heißt, P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 wird sein , wie viele Möglichkeiten , wie Sie arrangieren 5 Planeten aus 8 .

Aber warum hier aufhören? Warum nicht unsere Logik anwenden, um eine allgemeinere Formel zu finden? Um die obige Notation für eine beliebige Anzahl von Objekten leicht zu merken, verwenden wir einen Trick. In einem Bruch wirkt sich das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben Zahl (außer Null) nicht auf diesen Bruch aus. So:

Anzahl der Planeten zur Auswahl aus n = 8 , Sie wählen r = 5 von ihnen. Einsetzen der Zahlen in die obige Formel ergibt P = 8! / (8 - 5)! = 8! / 3! . Gleich wie 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6.720 .

Von hier kann das Ergebnis aus einem früheren Beispiel abgeleitet werden. Dort haben Sie alle 8 von 8 verfügbaren Planeten angeordnet. Mit der neuen Formel ist P = 8! / (8 - 8)! = 8! / 0! . Da faktorielles von Null wird vereinbart, gleich 1 , P = 8! / 1 = 8!. Oder allgemeiner:

P = n! / (n - n)! = n! / 0! = n! .  

Eine kurze und bequeme Notation, die häufig verwendet wird, ist: P (n, r) = n! / (n - r)!

Das Erinnern an Formeln ist wichtig. Für die Lösung realer Probleme ist es jedoch wichtiger zu wissen, welche Formeln in den jeweiligen Situationen verwendet werden müssen. Übung hilft.

Pop Quiz:

Das Turnier ist eröffnet und sechs Teams treten gegeneinander an. Der erste Platz erhält Gold und der zweite Platz Silbermedaillen. Wie viele verschiedene Arten können Medaillen an diese Teams vergeben werden?

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30
360
720
15
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Erklärung: Sie haben 6 Teams zur Auswahl. Somit ist n = 6 . Gold und Silber zusammen geben Ihnen 2 Medaillen zu vergeben. Somit ist r = 2 . Wenn Sie diese Zahlen in Ihre Formel einsetzen, erhalten Sie P (6, 2) = 6! / (6 - 2)! = 6! / 4! = 6 x 5 = 30 .

Teil 2. Kombinationen

Kombinationen ohne Wiederholung

Um den Vergleich anschaulicher zu gestalten, lassen Sie uns unser Beispiel für die Planetenauswahl noch einmal betrachten. Was ist, wenn Sie wissen möchten, welche Planeten ausgewählt sind und nicht in welcher Reihenfolge sie erscheinen?

Dort hatten Sie 6.720 verschiedene Möglichkeiten, 5 von 8 Planeten anzuordnen. Da die Reihenfolge des Auftretens jetzt keine Rolle mehr spielt, sind viele dieser Möglichkeiten überflüssig . Sie sind für uns gleich.

Eine Gruppe von Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn ist dieselbe Gruppe wie Mars, Jupiter, Venus, Erde, Saturn und die Gruppe wie Saturn, Mars, Erde, Jupiter, Venus. Dies sind nur verschiedene Sequenzen derselben 5 Planeten.

Wie viele Gruppen haben Sie, die gleich sind? Wenn Sie r Planeten pro Gruppe wählen , erhalten Sie r! Gruppen. Für r = 5 erhalten Sie r! = 5! = 120 Gruppen.

Um die unnötigen Gruppen zu eliminieren, die gleich sind, teilen Sie die Anzahl der ursprünglichen 6.720 Permutationen durch 5! . Das Ergebnis ist 6.720 / 120 = 56 .

Um zu verallgemeinern, müssen Sie alle Permutationen herausfinden und durch alle Redundanzen dividieren , um die Anzahl der Kombinationen zu ermitteln .

Mit kurzer und bequemer Notation: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n - r)!)

Und dies setzt voraus , dass die Ordnung nicht nicht egal , und es gibt keine Wiederholungen (das ist - es gibt nur einen Jupiter zur Auswahl).

Lassen Sie uns das Turnierbeispiel noch einmal betrachten:

Das Turnier ist eröffnet und sechs Teams treten gegeneinander an. Der erste Platz erhält Gold und der zweite Platz Silbermedaillen. Wie viele Gruppen von Medaillengewinnern sind möglich? Die Reihenfolge der Teams spielt keine Rolle

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360
15
30
720
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Nach wie vor haben Sie 6 Teams. Somit ist n = 6 . Es werden zwei Medaillen vergeben, also r = 2 . Diesmal spielt es jedoch keine Rolle, wer Gold und wer Silber gewinnt. Teamgold und Teamsilber sind dasselbe wie Teamsilber und Teamgold. Wenn Sie diese Zahlen in Ihre Formel einsetzen, erhalten Sie C (6, 2) = 6! / (2! (6 - 2)!) = 6! / 2! 4! = 15 .

Kombinationen mit Wiederholung

Um diesen Artikel zu vervollständigen, gibt es einen Fall, der besondere Aufmerksamkeit erfordert. Bisher haben wir in unseren Kombinationen angenommen, dass es keine Wiederholung gibt. Keine zwei Gegenstände waren gleich.

Was passiert , wenn wir können Wiederholungen haben? Was ist, wenn wir wie in unserem vorherigen Beispiel mehr als einen Ballon derselben Farbe auswählen können? Wenn die Anzahl der Ballons aus zu wählen ist , n und wir wählen r von ihnen , während so dass für gleiche Farben und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Anordnung, werden wir bis am Ende mit (n + r - 1)! / (r! (n - 1)!) Kombinationen .

Zum Abschluss hier eine Tabelle, mit der Sie auf diese Konzepte und ihre Formeln verweisen können.

Ich hoffe, dieser Artikel hat Ihnen geholfen, diese beiden wichtigen mathematischen Konzepte besser zu verstehen. Danke fürs Lesen.